CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN MENENTUKAN PERSAMAAN KUADRAT BARU : PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT : MATEMATIKA : KELAS IX : MTs MUHAMMADIYAH 1 MUNTILAN

Contoh 1 – Soal Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Diketahui akar – akar persamaan kuadrat x2 + 2x + 3 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya adalah (α – 2) dan (β – 2) adalah ….
A. x2 + 6x + 5 = 0
B. x2 + 6x + 7 = 0
C. x2 + 6x + 11 = 0
D. x2 – 2x + 3 = 0
E. x2 + 2x + 11 = 0

Pembahasan:

Berdasarkan persamaan kuadrat x2 + 2x + 3 = 0, dapat diketahui bahwa:

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat:

  

  

  

Perkalian akar-akar persamaan kuadrat:

  

  

Untuk persamaan kuadrat baru, maka:

Jumlah akar – akar persamaan kuadrat:

(α – 2) + (β – 2) = α + β – 4
= –2 – 4
= –6

Hasil kali perkalian akar-akar persamaan kuadrat:

(α – 2)(β – 2) = αβ – 2α – 2β + 4
= αβ – 2(α +β) + 4
= 3 – 2(–2) + 4
= 3 + 4 + 4
= 11

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya adalah (α – 2) dan (β – 2) adalah

x2 – ( x1 + x2 )x + ( x1 ⋅ x2) = 0
x2 – ( – 6)x + 11 = 0
x2 + 6x + 11 = 0

Selain cara runut yang telah diberikan seperti di atas, terdapat cara cepat menentukan persamaan kuadrat untuk bentuk soal seperti di atas. Simak caranya pada langkah-langkah di bawah.

RUMUS CEPAT

Perhatikan bahwa akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pengurangan nilai yang sama, yaitu –2. Untuk menentukan persamaan kuadrat baru dalam kasus soal seperti ini dapat dilakukan dengan substitusi invers nilai persamaan kuadrat baru ke persamaan kuadrat awal. Perhatikan cara-caranya seperti berikut ini.

Invers dari ( x – 2) adalah ( x + 2), substitusi nilai inversnya ke persamaan kuadrat awal seperti berikut ini.

( x + 2)2 + 2( x + 2) + 3 = 0
x2 + 4x + 4 + 2x + 4 + 3 = 0
x2 + 6x + 11 = 0

Hasil yang diperoleh sama dengan cara sebelumnya, bukan? Tapi cara cepat menentukan persamaan kuadrat ini hanya dapat digunakan saat akar – akar persamaan kuadrat baru memiliki pengurangan atau penjumlahan yang sama.

Jawaban: C

Contoh 2 – Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat x2 – 5x + 2 = 0 mempunyai akar – akar α dan β. Persamaan kuadrat yang akar – akarnya α2 dan β2 adalah ….
A. x2 – 21x + 4 = 0
B. x2 + 21x + 4 = 0
C. x2 + 21x – 4 = 0
D. x2 – 21x – 4 = 0
E. – x2 – 21x + 4 = 0

Pembahasan:

Berdasarkan persamaan kuadrat x2 – 5x + 2 = 0 dapat diperoleh:

α + β = 5
α ⋅ β = 2

Sehingga,

Jumlahan akar – akar baru:
α2 + β2 = (α + β)2 – αβ
= 52 – 2(2)
= 25 – 4
= 21

Hasil kali akar – akar baru:
α2 ⋅ β2 = (αβ)2
= 22
= 4

Sehingga, persamaan kuadrat barunya adalah x2 – 21x + 4 = 0.

Jawaban: A

Contoh 3 – Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Jika α dan β merupakan akar – akar dari persamaan kuadrat x2 – x + 3 = 0, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α2 – α dan β2 – β adalah ….
A. x2 – 6x + 9 = 0
B. x2 + 6x + 9 = 0
C. x2 + 6x – 9 = 0
D. x2 – 6x – 9 = 0
E. -x2 + 6x + 9 = 0

Pembahasan:

Dari persamaan kuadrat: x2 – x + 3 = 0
α + β = 1
αβ = 3

Jumlah akar – akar baru:

α2 – α + β2 – β = α2 + β2 – α – β
= (α + β)2 – 2αβ  – (α + β)
= 12 – 2 ⋅ 3 – 1
= 1 – 6 – 1
= – 6

Perkalian akar-akar baru:

(α2 – α)(β2 – β) = (αβ)^{2} – αβ(α + β) + αβ
= 32 – 3(1) + 3
= 9

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah x2 + 6x + 9 = 0.

Jawaban: B

TUGAS

Tentukan posisi garis berikut terhadap sumbu X dan sumbu Y!a. garis yang melalui titik (0,2) dan (3,2)
b. garis yang melalui titik (7,0) dan (0,3)