Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier

-
A. Sistem Persamaan Linier
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel adalah sistem persamaan  linier yang mempunyai bentuk
\left\{\begin{matrix} a_{1}x &+ &b_{1}y &=c_{1}\\ a_{2}x&+ &b_{2}y &=c_{2} \end{matrix}\right.
dengan a_{1},\: b_{1},\: a_{2},\: b_{2},\: dan\: c_{1},\: c_{2} adalah bilangan real
B. Hubungan Dua Buah Garis Lurus(Sistem Persamaan Linier Dua Variabel)

  • Jika kedua garis berpotongan, maka sistem persamaan linier memiliki sebuah penyelesaian. Hal ini terjadi jika \frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}}
  • Jika kedua garis sejajar, maka sistem persamaan linier tidak memiliki penyelesaian. Hal ini jika \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}}
  • Jika kedua garis itu berimpit, maka memiliki tak terhingga penyelesaian. ini terjadi saat  \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}= \frac{c_{1}}{c_{2}}
Contoh ilustrasi persamaan linier dua variabel
17              dan            16


\LARGE\fbox{Contoh Soal}
1.Penyelesaian sistem persamaan \left\{\begin{matrix} 3x &- & 4y &=14 \\ x& - & 2y &=6 \end{matrix}\right. adalah ….
Jawab:
perhatikan untuk \left\{\begin{matrix} 3x &- & 4y &=14\: ..........1) \\ x& - & 2y &=6 \: ............2) \end{matrix}\right.
Untuk persamaan 2)  x= 6 + 2y kita substitusikan ke persamaan 1). Selanjutnya kita mendapatkan 3(6+2y)-4y=14\: \Rightarrow 18+6y-4y=14\: \Rightarrow 2y=-4\: \Rightarrow y=-2\:\: \: .....................3)
Kemudian persamaan 3) disubstitusikan ke persamaan 2), maka akan didapatkan x = 2.
Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x=2\: dan\: y=-2
2. Jika diketahui  x dan y memenuhi sistem persamaan \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1 dan \frac{1}{x}-\frac{2}{y}=8 , maka nilai \frac{1}{x+y} = ….
Jawab:
Dengan cara kurang lebih sama dengan pembahasan soal pada contoh no 1) di atas tetapi dengan gabungan eliminasi dan substitusi. Misalkan
\begin{matrix} \frac{2}{x} &+ &\frac{1}{y} &=1&|\times 2|&\frac{4}{x}&+&\frac{2}{y}&=2 \\ \frac{1}{x}&- & \frac{2}{y} &=8&|\times 1|&\frac{1}{x}&-&\frac{2}{y}&=8\\ \end{matrix} ——————————————————  +
\frac{5}{x}=10\: \Rightarrow x=\frac{1}{2}\: \: dan \: \: diperoleh\: \: y=-\frac{1}{3} Jadi, nilai  \frac{1}{x+y}=\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=6
3. Enam tahun yang lalu, umur Budi 4 tahun lebih muda dari seperenam umur ayahnya. Jika umur Budi sekarang 3 tahun lebih tua dari seperdelapan umur ayahnya, maka jumlah umur mereka berdua sekarang adalah ….
Jawab:
Misalkan umur Budi = x , dan umur ayahnya = y , maka persoalan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut
  • (x-6)+4=\frac{1}{6}(y-6)\: \Rightarrow x=\frac{1}{6}y+1\: .........(1)
  • x-3=\frac{1}{8}y\: \Rightarrow x=\frac{1}{8}y+3\: ............(2)
Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh  \frac{1}{6}y+1=\frac{1}{8}y+3\: \Rightarrow y=48\: \: tahun,\: dan\: ahirnya\:\: diperoleh\:\: x= 9\:\: tahun
Jadi, jumlah umur mereka adalah 48 + 9 = 57  tahun.
C. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel
Sistem persamaan ini memiliki bentuk
\left\{\begin{matrix} a_{1}x &+ &b_{1}y &+&c_{1}z&=d_{1} \\ a_{2}x&+ & b_{2}y &+&c_{2}z&=d_{2} \\ a_{3}x &+ &b_{3}y &+&c_{3}z&=d_{3} \end{matrix}\right.
Untuk ketentuan yang lain kurang lebih sama seperti sistem persamaan linier dua variabel
\LARGE\fbox{Contoh Soal}
1. Himpunan penyelesaian sistem persaman
\left\{\begin{matrix} x & + &y & =5 \\ y &+ &z &=6 \\ 2x&+ &y &+ &z&=4 \end{matrix}\right.
adalah {(x,y,z)}. Nilai untuk x + y + z = ….
Jawab:
Perhatikan bahwa
\left\{\begin{matrix} x & + &y & =5&..........(1)\\ y &+ &z &=6&...........(2)\\ 2x&+&y&+&z&=4&..........(3) \end{matrix}\right.
Persamaan 2) disubsitusi ke persamaan 3)
2x+6=4\: \Rightarrow x=-1\: \: .........(4).  Kemudian persamaan 2) dan 4) dijumlahkan. Selanjutnya kita mendapatkan x+y+z=-1+6=5.
2. (OMITS SMP/MTs 2012) Ada 3 bilangan bulat. Jika masing-masing bilangan itu dipasangkan maka akan didapatkan jumlah 2006, 2010, dan 2012. Jumlah bilangan terbesar yang dimaksud adalah ….
Jawab:
Misalkan bilangan yang dimaksud adalah a, b, dan c, maka
\left\{\begin{matrix} a & + & b &=2006 \\ b & + & c &=2010 \\ c & + & a &=2012 \end{matrix}\right.
Selanjutnya jumlahkan ketiga persamaan tersebut di atas. Sehingga kita mendapatkan
2(a+b+c)=6028\: \Rightarrow \: a+b+c=3014
Maka bilangan terbesarnya adalah saat  (a+b+c)-(a+b)=3013-2006=1008=c
(yakni persamaan ke 4) dikurangi persamaan pertama)
\LARGE\fbox{Soal Latihan}
  1. Diketahui sistem persamaan \left\{\begin{matrix} 2x & + & 3y &=13 \\ 3x & + & 4y &=19 \end{matrix}\right.. Nilai x.y adalah ….
  2. Penyelesaian sistem persamaan  \left\{\begin{matrix} \frac{x+5}{2} &+ & \frac{3y+9}{3} &=9 \\ \frac{2x+3y}{4}&+ &6 &=9 \end{matrix}\right. adalah ….
  3. Di sebuah toko, Aziz membeli 3 buku dan 2 buah pensil seharga Rp5.200,00. Sedangkan Fatimah membeli 2 buku dan 3 pensil seharga Rp4.800,00. Harga 1 buku adalah ….
  4. Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45, maka kedua bilangan tersebut adalah ….
  5. Sebuah bilangan terdiri dari dua angka yang besarnya 7 kali jumlah angka-angkanya. Jika kedua angka dipertukarkan, akan diperoleh bilangan baru, 18 lebih dari jumlah angka-angkanya. Bilangan yang dimaksud adalah ….
  6. Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan, keduanya dikurangi 5, akan diperoleh pecahan sama dengan \frac{1}{2}.  Bila pembilang dan penyebut keduanya ditambah dengan 1, pecahan itu sama dengan \frac{2}{3}. Pecahan yang dimaksud adalah ….
  7. Para bola y=ax^{2}+bx+c melalui titik (1,1), (-1,-5), dan (3,23). Tentukanlah nilai a, b, dan c
  8. Jika diketahui sistem persamaan linier: \left\{\begin{matrix} a &+ &3b &+ &2c&=6160 \\ 6a& + &2b &=7680 \\ 6c&+ & 3d &=8820 \end{matrix}\right.

Sumber Referensi
  1. Enung, Untung. 2009. Mandiri Matematika SMAjilid 1 Untuk Kelas X. Jakarta: Erlangga.
  2. Sukino. 2004. Persiapan Menghadapi Olimpiade Matematika Tingkat SMP Seri B. Jakarta: BSD MIPA.

D. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Perhatikan ilustrasi soal berikut
Misalkan suatu ketika seseorang sebut saja pak Ahmad berencana membangun 2 tipe rumah, yaitu, tipe A dan tipe B di atas sebidang tanah seluas 10.000 m^{2}. Setelah ditanyakan kepada seorang arsitek ternyata untuk membangun rumah tipe A dibutuhkan tanah seluas 100 m^{2} dan untuk rumah tipe B dibutuhkan tanah seluas 75 m^{2}. Karena keterbatasan dana, akhirnya yang akan dibangun paling banyak 125 unit rumah saja, maka
1) berapa banyak rumah tipe A dan tipe B yang harus dibangun sesuai dengan kondisi luas tanah yang tersedia  dan jumlah rumah yang akan dibangun oleh pak Ahmad
2) gambarkanlah daerah penyelesaian pada koordinat kartesius berdasarkan batasan-batasan yang telah diberikan
Jawab:
Dimisalkan:    x : banyak  rumah tipe A yang segera dibangun
y : banyak  rumah tipe B yang segera dibangun
1) Banyaknya rumah tipe A dan tipe B yang akan dibangun
  • Dari soal diketahui luas bidang tanahnya adalah 10.000 m^{2} , maka model matematikanya adalah 100x+75y\leq 10.000. Selanjutnya kita sederhanakan menjadi 4x+3y=400  …………………………….(1)
  • Dan jumlah rumah yang segera dibangun, dimodelkan sebagai x+y\leq 125 …………………………………..(2)
  • Sebagai tambahannya, baik x dan y  minimal adalah nol (kondisi dimana apabila kedua tipe rumah tersebut tidak jadi dibangun)
Sehingga dengan eliminasi dan substitusi, maka
\left\{\begin{matrix} 4x & + &3y & = & 400 \\ x & + & y & = & 125 \end{matrix}\right.
Dengan mengalikan x + y = 125 dengan 3 kemudian dieliminasikan ke 4x + 3y = 400 diperoleh
x=25 untuk  x=25, maka y=125-x=125-25=100
Hal ini menunjukkan bahwa pak Ahmad dapat membangun rumah tipe A sebanyak 25 unit dan rumah tipe B sebanyak 100 unit.
2) Untuk gambar grafiknya pada bidang kartesius, kita perlu menentukan beberapa titik potong
untuk  persamaan garis 4x+3y=400 maka y=\frac{400-4x}{3}
\begin{tabular} {|r|c|c|}\hline x&0&100\\\hline y&133,3&0\\\hline (x,y)&(0,133,3)&(100,0)\\\hline\end{tabular} untuk persaman  x+y=125 maka y=125-x
\begin{tabular} {|r|c|c|}\hline x&0&125\\\hline y&125&0\\\hline (x,y)&(0,125)&(125,0)\\\hline\end{tabular} Selanjutnya buatlah titik uji, misalkan saja titik (0,0), kemudian kita substitusikan ke pertidaksamaan 4x+3y\leq 400  maupun x+y\leq 125. Kalau hasilnya memenuhi maka daerah titik (0,0) termasuk penyelesaian.
Silahkan kamu memasukkan titik uji yang lain
Dan akhirnya kita akan mendapatkan gambar grafik diagram kartesius sebagai berikut:
Untitled
Sumber Referensi
  1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Koordinat Kartesius - Posisi Titik Terhadap Titik dan Garis : Kelas VIII Matematika MTs Muhammadiyah 1 Muntilan

-
Gambar
  Kalian yang saat ini duduk di bangku kelas 8 mungkin tak asing lagi dengan koordinat cartesius. Istilah Cartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf asal Prancis, Descartes, yang memiliki peran besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri. Cartesius sendiri merupakan bentuk latin dari Descartes. Pada tahun 1637, dalam salah satu karyanya,  Discourse on the Method,  Descartes memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Kemudian lewat tulisannya yang lain,  La Géométrie , ia pun memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya itu. Dalam Matematika, sistem koordinat cartesius digunakan untuk menentukan posisi titik pada bidang koordinat. Penulisannya sendiri ditandai dengan kurung kurawal dan dipisahkan dengan koma. Sebagai contoh (x, y), dimana x disebut absis, dan y disebut ordinat. Dua sumbu koordinat dapat diperoleh dengan cara m
Baca selengkapnya

Materi Skala dan Perbandingan Kelas 7 SMP

-
Gambar
Berbicara soal skala pasti yang teringat skala peta, bagaimana sih pembacaan skala pada peta ? perhatikan uraian berikut : Sebuah desain rumah digambarkan dengan skala 1 : 50, arti dari skala 1 : 50 yaitu setiap jarak satu centimeter pada gambar mewakili 50 centimeter jarak sesungguhnya. Jika panjang rumah pada gambar desain ditunjukkan dengan jarak 10 cm maka panjang rumah yang sesungguhnya adalah 10 x 50 cm = 500 cm. Dari uraian tadi dapat ikita tarik sebuah kesimpulan mengenai pengertian dari skala. Skala a dalah perbandngan antara jarak pada gambar dengan jarak sesungguhnya. Skala biasanya digunakan pada denah lokasi, peta, dan rancangan benda. Contoh penulisan skala : 1 : 20.000, 1 : 15.000, dan 1 : 1.750.000 Rumus Skala Contoh soal skala : Sebuah peta dengan skala 1 : 25.000, berapakah jarak sesungguhnya jika pada peta ditunjukkan dengan jarak 4 cm. jawab : jarak pada peta 4 cm jarak sebenarnya adalah 4 x 25.000 cm = 100.000 cm Bentuk-bentuk Pe
Baca selengkapnya

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN POSISI GARIS TERHADAP GARIS : KOORDINAT KARTESIUS : MATEMATIKA : KELAS VIII : MTs MUHAMMADIYAH 1 MUNTILAN

-
Gambar
  CONTOH SOAL 1 Gambarlah garis l yang melalui titik A (3, -5) yang tidak sejajar dengan sumbu-X dan tidak sejajar dengan sumbu-Y ! Pembahasan : Gambar garis l yang melalui titik A (3,-5) yang tidak sejajar dengan sumbu-X dan tidak sejajar dengan sumbu-Y adalah sebagai berikut. Garis l pada bidang koordinat kartesius CONTOH 2 Gambarlah garis m dan n yang saling sejajar tapi tidak tegak lurus dengan sumbu-X dan sumbu-Y ! Penyelesaian : Berikut garis m dan n yang saling sejajar tapi tidak tegak lurus dengan sumbu-X dan sumbu-Y. Garis m, n pada bidang koordinat kartesius CONTOH SOAL 3 Diketahui titik A (3, 2 ), B (3, -6 ), C (-5, 2 ) a). Jika dibuat garis melalui titik A dan B, bagaimana kedudukan garis tersebut terhadap sumbu-X dan sumbu-Y b). Jika dibuat garis melalui titik A dan C, bagaimana kedudukan garis tersebut terhadap sumbu-X dan sumbu-Y c). Jika dibuat garis melalui titikk B dan C, bagaimana kedudukan garis tersebut terhadap sumbu-X dan sumbu-Y Penyelesaian : Langkah 1 Gambarl
Baca selengkapnya